Zde je ukázka středně těžké úlohy pro kategorii ZŠ:
V rovnostranném trojúhelníku $ABC$ se stranou délky $8\,\text{cm}$ je bod $D$ střed strany $BC$ a bod $E$ je střed strany $AC$. Bod $F$ leží na úsečce $BC$ tak, že obsah trojúhelníku $ABF$ je stejný jako obsah čtyřúhelníku $ABDE$. Vypočtěte délku úsečky $BF$.
Zde je ukázka středně těžké úlohy pro kategorii SŠ:
Je dán ostroúhlý trojúhelník $ABC$. Na polopřímce opačné k polopřímce $BC$ leží bod $P$ takový, že $|AB| = |BP|$. Analogicky na polopřímce opačné k polopřímce $CB$ leží bod $Q$ takový, že $|AC| = |CQ|$. Označme $J$ střed kružnice připsané straně $BC$ daného trojúhelníka a $D, E$ po řadě její body dotyku s přímkami $AB$ a $AC$. Předpokládejme, že polopřímky opačné k polopřímkám $DP$ a $EQ$ se protínají v bodě $F$ různém od $J$. Dokažte, že $AF \perp FJ$.